Matematika Diskrit

Apa itu Matematika Diskrit..??? apa yang membedakan matematika lainnya dengan matematika diskrit?

saya akan menjelaskan apa itu matematika diskrit.

Matematika diskrit adalah cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Benda disebut diskrit jika ia terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak berkesinambungan. Himpunan bilangan bulat (integer) dipandang sebagai objek diskrit. Lawan kata diskrit adalah kontinyu atau menerus. Himpunan bilangan riil (real) adalah suatu objek kontinu. Di dalam matematika kita mengenal fungsi diskrit dan fungsi kontinu. Fungsi diskrit digambarkan sebagai sekumpulan titik-titik, sedangkan fungsi kontinu digambarkan sebagai kurva. Matematika diskrit berkembang sangat pesat dalam dekade terakhir ini. Salah satu alasan yang menyebabkan perkembangan pesat itu adalah karena komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit. Salah satu materi di dalam matematika diskrit ini adalah teori bilangan bulat. Sesuai dengan namanya, teori bilangan bulat sangat erat hubungannya dengan bilangan bulat. Bilangan bulat itu sendiri adalah bilangan yang tidak mempunya pecahan desimal, misalnya adalah 2, 43, 566, -64, 0 dan sebagainnya. Teori bilangan bulat dalam matematika diskrit memberikan penekanan dengan sifat pembagian. Sifat pembagian pada bilangan bulat melahirkan konsep-konsep seperti bilangan prima dan aritmatika modulo. Satu algoritma penting yang berhubungan dengan sifat pembagian ini adalah algoritma Euclidean. Baik bilangan prima, aritmatika modulo, dan algoritma Euclidean memainkan peran yang penting dalam bidang ilmu Kriptografi, yaitu ilmu yang mempelajari kerahasiaan pesan.

Fungsi

Di dalam matematika diskrit, fungsi juga menjadi peran penting di mata kuliah ini. Fungsi juga digunakan utk mendefinisikan struktur-struktur diskrit seperti sequense dan string, untuk mendiskripsikan lama waktu yang digunakan dan untuk memecahkan persoalan dengan komputer, atau di dalam ilmu komputer dikenal adanya fungsi rekursif, yaitu fungsi yang memanggil dirinya sendiri.  Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep dasar fungsi yang dibutuhkan dalam matematika diskrit.

Definisi Fungsi :

1. Jika A dan B adalah himpunan, maka  fungsi f dari A ke B akan memetakan  ke tepat satu elemen B untuk setiap elemen A, ditulis f : A →  B yang artinya f memetakan A ke B, A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

2. Jika F adalah fungsi A ke B, maka A adalah domain dari f dan B adalah codomain dari f.  Jika f(a) = b maka b dikatakan sebagai image dari a dan a adalah preimage dari b. Range f adalah himpunan semua image dari elemen A. jika F adalah fungsi dari A ke B maka dikatakan bahwa F memetakan A ke B. 

3. Jika f1 dan f2adalah fungsi dari A ke R maka f1 + f2 dan f1f2 juga fungsi dari A ke R yang didefinisikan oleh :  

 (f1 + f2)(x) = f1 (x) + f2(x), 

 (f1 f2)(x) = f1 (x) f2(x)

Macam macam fungsi :

Fungsi Invers (Balikan)

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

Komposisi Fungsi

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C , maka suatu fungsi h dari A ke C  disebut fungsi komposisi. 

Fungsi komposisi tersebut dinyatakan dengan h(x) = g o f (x) (dibaca: g bundaran f)

Secara grafik, komposisi fungsi di atas digambarkan seperti berikut.

Fungsi Khusus

 Fungsi Floor dan Ceiling

Misalk an x adalah b ilan gan riil, berarti x berad a di an tara dua bilangan bulat.
Fungsi floor dari x:
[x] menyatakan nilai b ilan gan b ulat terbesar yang leb ih kecil atau sama dengan x
Fungsi ceiling dari x:
[x] menyatakan bilang an bulat terkecil yan g lebih besar atau sama dengan x
Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah , sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas.
Contoh nilai fungsi floor dan ceiling : 

Contoh 
Di dalam komputer, data dikodekan dalam untaian byte, satu byte terdiri atas 8 bit. Jika panjang data 125 bit, maka jumlah byte yang diperlukan untuk merepresentasikan data adalah [125/8] = 16 byte. Perhatikanlah bahwa 16 ´ 8 = 128 bit, sehingga untuk byte yang terakhir perlu ditambahkan 3 bit ekstra agar satu byte tetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi 8 bit disebut padding bits).